by 
Η Hannah Larson έχει εμμονή να καταλάβει τι συμβαίνει όταν τέμνονται δύο ή περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα. Ο Λάρσον, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ, και ερευνητής στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay, κέρδισε πρόσφατα το βραβείο Maryam Mirzakhani New Frontiers 2024. Ονομάζεται έτσι από τον πρώτο μαθηματικό που κέρδισε το μετάλλιο Fields, το οποίο συχνά περιγράφεται ως βραβείο Νόμπελ στα μαθηματικα.. Το Βραβείο New Frontiers απονέμεται σε εξαιρετικές γυναίκες μαθηματικούς που απέκτησαν πρόσφατα το διδακτορικό τους.
Η θεωρία τομής, μια από τις ειδικότητες του Larson, είναι ένας κλάδος ενός πεδίου που ονομάζεται αλγεβρική γεωμετρία. Η θεωρία τομής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση σχετικά απλών ερωτημάτων, για παράδειγμα, σχετικά με το πώς τέμνονται δύο γραμμές, αλλά είναι επίσης ένας ισχυρός τρόπος για να κατανοήσουμε τι συμβαίνει σε πιο δύσκολες καταστάσεις που περιλαμβάνουν αντικείμενα σε μεγαλύτερο αριθμό ή που είναι πιο περίπλοκη.
Ενώ η Λάρσον ήταν προπτυχιακή φοιτήτρια στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, γοητεύτηκε από τα μαθηματικά που μάθαινε σε ένα μάθημα θεωρίας τομής. «Νόμιζα ότι αυτό το μάθημα ήταν εκπληκτικό και τα πράγματα που μπορούσαν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία τομών ήταν ωραία», λέει ο Larson.
Η Larson, η οποία είναι ακόμα νωρίς στην καριέρα της, έχει αναγνωριστεί για την καινοτόμο δουλειά της σε πολλαπλές γραμμές μαθηματικής έρευνας. μίλησε με Αμερικανός επιστήμονας για την πρόσφατη νίκη του και μερικά από τα μαθηματικά εργαλεία, αντικείμενα και ιδέες που είναι βασικοί παράγοντες στην έρευνά του.
[An edited transcript of the interview follows.]
Πώς θα περιγράφατε τη θεωρία τομής;
Στο πιο βασικό επίπεδο, έχει να κάνει με την κατανόηση του τι συμβαίνει όταν τα πράγματα διασταυρώνονται. Αλλά στην αλγεβρική γεωμετρία, θα έλεγα ότι η θεωρία τομών είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα όταν εργαζόμαστε με χώρους ενοτήτων.
Τι είναι οι χώροι μονάδων;
Ένας χώρος ενότητας είναι ένας χώρος όπου κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα αντικείμενο κάποιου τύπου που μας ενδιαφέρει. Μία από τις κινητήριες ιδέες είναι ότι τα μαθηματικά αντικείμενα μοιάζουν λίγο με τους ανθρώπους: τα καταλαβαίνουμε καλύτερα όταν τα μελετάμε μαζί σε οικογένειες. με αντικείμενα του ίδιου τύπου. Ο χώρος των μονάδων μας βοηθά να το κάνουμε αυτό επειδή τα σημεία στο χώρο λειτουργιών παρακολουθούν όλα τα διαφορετικά αντικείμενα ενός συγκεκριμένου τύπου.
Επιπλέον, αν ανιχνεύσω μια διαδρομή μέσα στο χώρο της μονάδας, αυτό αντιστοιχεί σε μια συνεχώς μεταβαλλόμενη οικογένεια των αντικειμένων μας. Είναι λίγο δύσκολο να καταλάβουμε τι σημαίνει αυτό, αλλά μπορούμε να πάρουμε αυτό το παράδειγμα: τον χώρο των μονάδων των κύκλων. Κάθε κύκλος καθορίζεται από το κέντρο του, (προς την, σι), και το ραδιόφωνό του, r. Τότε ο χώρος των μονάδων των κύκλων είναι ένας τρισδιάστατος χώρος τριπλών, (προς την, σι, r), που r είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Εάν ανιχνεύσω μια συνεχή διαδρομή στο χώρο της μονάδας, μπορείτε να φανταστείτε μια ταινία ενός κύκλου που περιστρέφεται και αυξάνεται και μειώνεται σε μέγεθος. Αλλά δεν θα γίνει ποτέ [one spot] και απλά πηδήξτε [to another] επειδή [that] Δεν θα ήταν συνεχής.
Πώς σχετίζεται αυτό με τη θεωρία τομής;
Εάν ενδιαφέρεστε για ορισμένα υποσύνολα ενός χώρου λειτουργιών, αυτά θα τείνουν να αντιστοιχούν σε αντικείμενα που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Έτσι, όταν διασταυρώνετε δύο υποσύνολα στο χώρο λειτουργιών, προσπαθείτε να καταλάβετε ποια αντικείμενα έχουν και τις δύο ιδιότητες. Αυτό, στην ουσία, είναι η θεωρία των τομών.
Ποιες είναι μερικές από τις στρατηγικές στις οποίες βασίζεστε στην έρευνά σας;
Ένα εργαλείο που χρησιμοποιώ πολύ και είναι πολύ σημαντικό είναι: όταν μελετάς έναν χώρο ενότητας, προσπαθείς να τον κόψεις σε κομμάτια και να καταλάβεις τι συμβαίνει σε καθένα από αυτά τα μέρη. Λέγεται διάσπαση.
Υπάρχει τρόπος να συγκεντρωθούν ξανά αυτές οι πληροφορίες. Αλλά αν κόψετε το χώρο της μονάδας σας σε κομμάτια που είναι πολύ μικρά, μερικές φορές μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να τα επαναφέρετε μαζί. Επομένως, το να το κόψετε με τον σωστό τρόπο περιλαμβάνει επίσης λίγη τέχνη.
Ένα άλλο είναι να βρείτε χάρτες μεταξύ των χώρων. Εάν προσπαθείτε να κατανοήσετε έναν χώρο λειτουργικών μονάδων και μπορείτε να αντιστοιχίσετε αυτόν τον χώρο λειτουργιών σε έναν απλούστερο, μπορείτε συχνά να χρησιμοποιήσετε την κατανόησή σας για τον απλούστερο χώρο λειτουργιών για να πείτε κάτι για τον πιο περίπλοκο. Το να δίνετε έναν χάρτη από ένα χώρο λειτουργικής μονάδας σε άλλο είναι σαν κανόνας για τη λήψη αντικειμένων ενός τύπου και τη λήψη αντικειμένων διαφορετικού (ελπίζουμε απλούστερο) τύπου.
Μεγάλο μέρος της έρευνάς του περιλαμβάνει εργασία με υψηλότερες διαστάσεις. Ποιες είναι μερικές από τις προκλήσεις της εξερεύνησης υψηλότερων διαστάσεων;
Μία από τις προκλήσεις είναι ότι δεν μπορείς να το φανταστείς πολύ καλά, και όμως αυτό είναι επίσης μέρος της χαράς: ότι προσπαθείς ακόμα να το φανταστείς. Ένα πράγμα που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσπαθήσουμε να φανταστούμε ένα μέρος αυτού που συμβαίνει.
Φανταστείτε ότι ζείτε σε έναν δισδιάστατο κόσμο και δεν έχετε ξαναδεί 3-D. Κάποιος σε 3-D έχει μια σφαίρα και δεν έχετε δει ποτέ μια σφαίρα. Αλλά αν μπορείτε να φανταστείτε πράγματα να ζουν σε δύο διαστάσεις και είστε σε θέση να καταλάβετε πώς αυτό το μυστηριώδες τρισδιάστατο αντικείμενο συναντά κάθε δισδιάστατο επίπεδο, τότε θα έχετε αυτή την εικόνα. Υπάρχει κάτι εκεί έξω και η κοπή του με διαφορετικούς τρόπους έχει ως αποτέλεσμα κύκλους διαφορετικού μεγέθους. Μπορεί να μην μπορείτε να φανταστείτε πώς μοιάζει μια σφαίρα, αλλά εξακολουθείτε να γνωρίζετε κάτι γι’ αυτήν.
Τι σημαίνει για εσάς η κατάκτηση του βραβείου Maryam Mirzakhani New Frontiers;
Είναι μεγάλη τιμή. Η Maryam Mirzakhani ήταν μια μεγάλη έμπνευση και εξακολουθεί να είναι, ειδικά για τις νεαρές γυναίκες. Η παραλαβή αυτού του βραβείου προς τιμήν του το κάνει πολύ ξεχωριστό.
